Mathe und Technik Aufgaben zu Glas

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Industriemeister_kraefte1_BQ_Prüfungsaufgaben
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:abacus: Aufgabe 1 – Berechnung der Glasdichte

Aufgabenstellung:

Ein Glasblock hat ein Volumen von 0,02 m3 und wiegt 50 kg.

Berechnen Sie die Dichte des Glases in kg/m3.

Lösung
\text{Dichte} = \frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}
\text{Dichte} = \frac{50 \text{ kg}}{0,02 \text{ m}^3} = 2.500 \text{ kg/m}^3

:abacus: Aufgabe 2 – Wärmeausdehnung von Glas

Aufgabenstellung:

Ein Glasfenster mit einer Länge von 1,5 m wird von 20 °C auf 60 °C erwärmt. Der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient von Glas beträgt 9 × 10-6 1/K.

Berechnen Sie die Längenänderung des Glases.

Lösung
\Delta L = L_0 \times \alpha \times \Delta T
\Delta L = 1,5 \text{ m} \times (9 \times 10^{-6} \text{ 1/K}) \times (60 \text{ }^\circ\text{C} – 20 \text{ }^\circ\text{C})
\Delta L = 1,5 \text{ m} \times (9 \times 10^{-6} \text{ 1/K}) \times 40 \text{ K}
\Delta L = 0,00054 \text{ m} = 0,54 \text{ mm}

:abacus: Aufgabe 3 – Berechnung der Zugspannung

Aufgabenstellung:

Ein Glasstab mit einem Querschnitt von 2 cm2 wird mit einer Zugkraft von 500 N belastet.

Berechnen Sie die Zugspannung in N/mm2.

Lösung
\text{Spannung} = \frac{\text{Kraft}}{\text{Fläche}}
\text{Fläche} = 2 \text{ cm}^2 = 200 \text{ mm}^2
\text{Spannung} = \frac{500 \text{ N}}{200 \text{ mm}^2} = 2,5 \text{ N/mm}^2

:abacus: Aufgabe 4 – Ermittlung der Lichtbrechung

Aufgabenstellung:

Licht tritt von Luft (Brechungsindex n1 = 1,0) in Glas (Brechungsindex n2 = 1,5) ein. Der Einfallswinkel beträgt 30°.

Berechnen Sie den Brechungswinkel im Glas.

Lösung

Snellius’sches Brechungsgesetz:

n_1 \times \sin(\theta_1) = n_2 \times \sin(\theta_2)
1,0 \times \sin(30^\circ) = 1,5 \times \sin(\theta_2)
0,5 = 1,5 \times \sin(\theta_2)
\sin(\theta_2) = 0,5 / 1,5 = 1/3 \approx 0,333
\theta_2 = \arcsin(0,333) \approx 19,47^\circ

:abacus: Aufgabe 5 – Berechnung der Schmelzwärme

Aufgabenstellung:

Für das Schmelzen von 10 kg Glas wird eine Energie von 25.000 kJ benötigt.

Berechnen Sie die spezifische Schmelzwärme des Glases in kJ/kg.

Lösung
\text{spezifische Schmelzwärme} = \frac{\text{Energie}}{\text{Masse}}
\text{spezifische Schmelzwärme} = \frac{25.000 \text{ kJ}}{10 \text{ kg}} = 2.500 \text{ kJ/kg}

:abacus: Aufgabe 6 – Berechnung der Produktionsmenge

Aufgabenstellung:

Eine Glasproduktionsanlage stellt pro Stunde 500 Flaschen her. Die Anlage läuft 16 Stunden pro Tag.

Wie viele Flaschen werden in einer Woche (7 Tage) produziert?

Lösung
\text{Flaschen pro Tag} = 500 \text{ Flaschen/h} \times 16 \text{ h} = 8.000 \text{ Flaschen}
\text{Flaschen pro Woche} = 8.000 \text{ Flaschen/Tag} \times 7 \text{ Tage} = 56.000 \text{ Flaschen}

:abacus: Aufgabe 7 – Berechnung der Materialkosten

Aufgabenstellung:

Für die Herstellung einer Glasscheibe werden 15 kg Rohmaterial benötigt. Der Preis pro Kilogramm beträgt 2,50 €.

Berechnen Sie die Materialkosten für eine Glasscheibe.

Lösung
\text{Materialkosten} = \text{Masse} \times \text{Preis pro kg}
\text{Materialkosten} = 15 \text{ kg} \times 2,50 \text{ €/kg} = 37,50 \text{ €}

:abacus: Aufgabe 8 – Berechnung der Taktzeit

Aufgabenstellung:

In einer Produktionslinie werden täglich 1.200 Glasflaschen hergestellt. Die Produktionszeit beträgt 8 Stunden pro Tag.

Berechnen Sie die Taktzeit pro Flasche in Sekunden.

Lösung
\text{Produktionszeit pro Tag} = 8 \text{ h} \times 60 \text{ min/h} \times 60 \text{ s/min} = 28.800 \text{ s}
\text{Taktzeit} = \frac{\text{Produktionszeit}}{\text{Anzahl der Flaschen}}
\text{Taktzeit} = \frac{28.800 \text{ s}}{1.200 \text{ Flaschen}} = 24 \text{ s/Flasche}

:abacus: Aufgabe 9 – Berechnung des Energieverbrauchs

Aufgabenstellung:

Ein Schmelzofen verbraucht 500 kW Leistung und läuft 10 Stunden täglich.

Berechnen Sie den täglichen Energieverbrauch in kWh.

Lösung
\text{Energieverbrauch} = \text{Leistung} \times \text{Betriebszeit}
\text{Energieverbrauch} = 500 \text{ kW} \times 10 \text{ h} = 5.000 \text{ kWh}

:abacus: Aufgabe 10 – Berechnung der Produktionskosten

Aufgabenstellung:

Die täglichen Fixkosten einer Glasfabrik betragen 2.000 €. Variable Kosten pro produzierte Einheit betragen 1,50 €. Täglich werden 1.000 Einheiten produziert.

Berechnen Sie die gesamten Produktionskosten pro Tag.

Lösung
\text{Variable Kosten} = 1.000 \text{ Einheiten} \times 1,50 \text{ €} = 1.500 \text{ €}
\text{Gesamtkosten} = \text{Fixkosten} + \text{Variable Kosten}
\text{Gesamtkosten} = 2.000 \text{ €} + 1.500 \text{ €} = 3.500 \text{ €}

:abacus: Aufgabe 11 – Produktionsplanung mit Ausschuss und Taktzeit

Aufgabenstellung:

Ein Betrieb produziert täglich 8 Stunden lang Glasbehälter auf einer vollautomatischen Linie. Die Taktzeit beträgt 20 Sekunden. Der Ausschuss liegt bei 5 %.

Berechnen Sie:

  1. Die theoretische Tagesleistung ohne Ausschuss
  2. Die tatsächliche nutzbare Produktionsmenge pro Tag
  3. Die Jahresmenge bei 250 Arbeitstagen
Lösung

1. Tagesleistung ohne Ausschuss:

8 \text{ h} \times 60 \text{ min/h} \times 60 \text{ s/min} = 28.800 \text{ s}
28.800 \text{ s} / 20 \text{ s pro Stück} = 1.440 \text{ Stück}

2. Tatsächliche Menge:

1.440 \text{ Stück} \times 0,95 = 1.368 \text{ Stück}

3. Jahresmenge:

1.368 \text{ Stück} \times 250 \text{ Tage} = 342.000 \text{ Stück/Jahr}

:abacus: Aufgabe 12 – Energiebedarf einer Glasschmelze inkl. Wirkungsgrad

Aufgabenstellung:

Ein Schmelzofen hat eine Leistung von 400 kW und läuft täglich 12 Stunden. Der Wirkungsgrad des Ofens beträgt 80 %.

Berechnen Sie:

  1. Den täglichen Energieverbrauch in kWh
  2. Den tatsächlich für die Glasschmelze genutzten Energieanteil
  3. Den Energieverlust pro Tag
Lösung

1. Energieverbrauch:

400 \text{ kW} \times 12 \text{ h} = 4.800 \text{ kWh}

2. Genutzte Energie (80 %):

4.800 \text{ kWh} \times 0,80 = 3.840 \text{ kWh}

3. Energieverlust:

4.800 \text{ kWh} – 3.840 \text{ kWh} = 960 \text{ kWh}

:abacus: Aufgabe 13 – Kalkulation eines Glasartikels mit Gemeinkosten und Gewinn

Aufgabenstellung:

Für einen Glasartikel betragen:

  • Materialeinzelkosten: 4,00 €
  • Fertigungslöhne: 6,00 €
  • Materialgemeinkostenzuschlag: 25 %
  • Fertigungsgemeinkostenzuschlag: 80 %
  • Vw/Vt-Zuschlag: 10 % auf Herstellkosten
  • Gewinnzuschlag: 5 % auf Selbstkostenpreis

Berechnen Sie:

  1. Die Herstellkosten
  2. Den Selbstkostenpreis
  3. Den Angebotspreis
Lösung

1. Material-GK:

4,00 \text{ €} \times 0,25 = 1,00 \text{ €}

Fertigung-GK:

6,00 \text{ €} \times 0,80 = 4,80 \text{ €}

Herstellkosten:

4,00 + 1,00 + 6,00 + 4,80 = 15,80 \text{ €}

2. Vw/Vt:

15,80 \text{ €} \times 0,10 = 1,58 \text{ €}

Selbstkostenpreis:

15,80 + 1,58 = 17,38 \text{ €}

3. Gewinn:

17,38 \text{ €} \times 0,05 = 0,87 \text{ €}

Angebotspreis:

17,38 + 0,87 = 18,25 \text{ €}

:abacus: Aufgabe 14 – Auftragsbezogene Fertigung mit Ausschuss und Nacharbeit

Aufgabenstellung:

Ein Kunde bestellt 5.000 Glasflaschen. Im Produktionsprozess fallen 4 % Ausschuss an. 50 % davon können nachgearbeitet werden (Nacharbeit kostet 0,50 €/Stück). Der Herstellpreis pro gutem Teil beträgt 1,20 €.

Berechnen Sie:

  1. Die erforderliche Produktionsmenge
  2. Die Anzahl der nachzuarbeitenden Flaschen
  3. Die Gesamtkosten des Auftrags
Lösung

1. Ausschuss:
Benötigt: 5.000 gute Teile
Ausschussquote: 4 % → Gutanteil = 96 %

\text{Benötigte Menge: } 5.000 / 0,96 \approx 5.209 \text{ Stück}

2. Ausschussmenge:

5.209 – 5.000 = 209 \text{ Ausschussstücke}

Davon 50 % nacharbeitbar = 104,5 ≈ 105 Stück

3. Kosten:

\text{Gute Teile: } 5.000 \times 1,20 \text{ €} = 6.000 \text{ €}
\text{Nacharbeit: } 105 \times 0,50 \text{ €} = 52,50 \text{ €}
\text{Gesamtkosten: } 6.052,50 \text{ €}

:abacus: Aufgabe 15 – Kombination von Lagerkennzahlen & Kapitalbindung

Aufgabenstellung:s

Ein Unternehmen hat durchschnittlich Material im Wert von 25.000 € im Lager. Die Lagerumschlagshäufigkeit beträgt 8. Der Zinssatz für die Kapitalbindung liegt bei 6 %.

Berechnen Sie:

  1. Die durchschnittliche Lagerdauer in Tagen
  2. Die gebundene Kapitalmenge
  3. Die jährlichen Kapitalbindungskosten
Lösung

1. Lagerdauer:

360 / 8 = 45 \text{ Tage}

2. Gebundenes Kapital:
= durchschnittlicher Lagerbestand = 25.000 €

3. Kapitalbindungskosten:

25.000 \text{ €} \times 0,06 = 1.500 \text{ €/Jahr}

:abacus: Aufgabe 16 – Wirkungsgradkette in einer Glasproduktionslinie

Aufgabenstellung:

Eine Produktionslinie besteht aus vier aufeinanderfolgenden Maschinen. Die Wirkungsgrade betragen jeweils:

  • Maschine A: 95 %
  • Maschine B: 90 %
  • Maschine C: 92 %
  • Maschine D: 88 %

Berechnen Sie den Gesamtwirkungsgrad der Produktionslinie.

Lösung
\text{Gesamtwirkungsgrad} = 0,95 \times 0,90 \times 0,92 \times 0,88
= 0,689 = 68,9 \%
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:books: Der ultimative HQ-Drill: 27 Aufgaben für Industriemeister (Glas & Mechanik)

In der HQ-Prüfung (Handlungsspezifische Qualifikationen) kommt es auf Schnelligkeit und Präzision an. Oft werden Mechanik, Wärmelehre und prozesstechnische Rechnungen vermischt.

Dieser Beitrag ist dein Trainingslager. Wir decken alles ab: Von der Kräftezerlegung über die Wannen-Energiebilanz bis zur Qualitätsstatistik.

:brain: Themenbereich 1: Kräfte, Statik & Mechanik

Hier geht es um Vektoren, Hebelgesetze und Lagerkräfte.

Kraefte F1 Kraft F1 Fr Resultierende Fr F1->Fr F2 Kraft F2 F2->Fr

:ladder: Aufgabe 1: Zwei parallele Kräfte

Szenario: Zwei Kräfte wirken in gleicher Richtung: F_1 = 300~N, F_2 = 620~N.
Frage: Wie groß ist die Resultierende F_r und wie ist sie gerichtet?

Lösung & Rechenweg

Da die Kräfte kollinear (auf einer Wirkungslinie) und gleichgerichtet sind, werden sie einfach addiert.

F_r = F_1 + F_2
F_r = 300~\text{N} + 620~\text{N} = \mathbf{920~\text{N}}

Richtung: Gleichgerichtet mit den Einzelkräften.

↔️ Aufgabe 3: Winkelkräfte (Parallelogramm der Kräfte)

Szenario: Zwei Kräfte greifen unter einem Winkel von \alpha = 30^\circ an. F_1 = F_2 = 150~kN.
Frage: Berechnen Sie die Resultierende F_r.

Lösung & Rechenweg

Hier greift der allgemeine Kosinussatz für Kräfte.

[Image of parallelogram of forces diagram]

F_r = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos(\alpha)}
F_r = \sqrt{150^2 + 150^2 + 2 \cdot 150 \cdot 150 \cdot \cos(30^\circ)}
F_r = \sqrt{22.500 + 22.500 + 45.000 \cdot 0,866}
F_r = \sqrt{45.000 + 38.971} = \sqrt{83.971} \approx \mathbf{290~\text{kN}}

:downwards_button: Aufgabe 5: Reibung an der schiefen Ebene

Szenario: Stahlbehälter auf 12 % Steigung. Reibkraft F_R = 90~N. \mu = 0,15.
Fragen: a) Gewichtskraft F_G? b) Rutschwinkel?

Lösung & Rechenweg

a) Gewichtskraft berechnen
Schritt 1: Normalkraft F_N aus der Reibkraft ableiten.

F_N = \frac{F_R}{\mu} = \frac{90~\text{N}}{0,15} = 600~\text{N}

Schritt 2: Neigungswinkel \alpha aus Steigungsprozenten.

\alpha = \arctan(0,12) \approx 6,84^\circ

Schritt 3: Gewichtskraft F_G über Kosinus-Beziehung.

F_G = \frac{F_N}{\cos(\alpha)} = \frac{600~\text{N}}{0,993} \approx \mathbf{604,3~\text{N}}

b) Rutschwinkel (Haftreibungsgrenze)
Rutschen beginnt, wenn Hangabtriebskraft = Reibkraft (F_H = F_R), also \tan(\alpha) = \mu.

\alpha = \arctan(0,15) \approx \mathbf{8,53^\circ}

:brick: Aufgabe 9: Drehmoment (Schraubenschlüssel)

Szenario: Wirksame Länge l = 280~mm, Kraft F = 65~N (senkrecht).
Frage: Drehmoment M?

Lösung & Rechenweg

Wichtig: Einheiten anpassen (mm in m).

M = F \cdot l
M = 65~\text{N} \cdot 0,280~\text{m} = \mathbf{18,2~\text{Nm}}

:balance_scale: Aufgabe 11: Der Mehrkrafthebel

Szenario:

  • Links: F_1 = 100~N (10~cm), F_2 = 100~N (10~cm).
  • Rechts: F_4 = 100~N (10~cm), F_3 gesucht bei 20~cm.
Lösung & Rechenweg

Momentengleichgewicht: \sum M_{links} = \sum M_{rechts}

M_{links} = (100~\text{N} \cdot 10~\text{cm}) + (100~\text{N} \cdot 10~\text{cm}) = 2000~\text{Ncm}
M_{rechts} = (F_3 \cdot 20~\text{cm}) + (100~\text{N} \cdot 10~\text{cm})

Gleichsetzen:

2000 = 20 \cdot F_3 + 1000
1000 = 20 \cdot F_3 \Rightarrow F_3 = \mathbf{50~\text{N}}

:building_construction: Aufgabe 13: Brücke & Laufkatze (Auflagerkräfte)

Szenario: 10m Träger.

  • Last 1 (Brücke): 50 kN mittig (bei 5m).
  • Last 2 (Rolle + Katze): 37,86~kN + 5~kN \approx 42,86~kN bei 3m.
    Frage: Auflagerkräfte F_A, F_B.
Lösung & Rechenweg

1. Momentengleichgewicht um A:
(Alle rechtsdrehenden Momente = linksdrehende Momente vom Auflager B)

F_B \cdot 10~\text{m} = (42,86~\text{kN} \cdot 3~\text{m}) + (50~\text{kN} \cdot 5~\text{m})
F_B \cdot 10 = 128,58 + 250 = 378,58~\text{kNm}
F_B = \mathbf{37,86~\text{kN}}

2. Summenregel (Sigma F = 0):

F_A = F_{ges} - F_B = (42,86 + 50) - 37,86 = \mathbf{55,00~\text{kN}}

:building_construction: Aufgabe 15: Konsole (Fest- & Loslager)

Szenario: Kraft F=8,9~kN am Hebelarm.
Fragen: Lagerkräfte F_A, F_B.

Lösung & Rechenweg

a) Kraft F_A (Loslager) über Moment um B:
Hebelarm Last: l_3 = 2,00~m.
Hebelarm Lager A: l_1 + l_2 = 0,63 + 2,54 = 3,17~m.

F_A \cdot 3,17~\text{m} = 8,9~\text{kN} \cdot 2,00~\text{m}
F_A = \frac{17,8}{3,17} \approx \mathbf{5,62~\text{kN}}

b) Kraft F_B (Festlager):

F_B = F_{last} - F_A = 8,9 - 5,62 = \mathbf{3,28~\text{kN}}

:building_construction: Aufgabe 17: Balken tragen (Asymmetrisch)

Szenario: 1000 N Balken (8m). Träger A bei 0,6m, Träger B bei 1,2m vom Rand.
Frage: Wer trägt wie viel?

Lösung & Rechenweg

Der Schwerpunkt des Balkens liegt bei 4,0m.
Abstand Träger A zum Schwerpunkt: 4,0 - 0,6 = 3,4~m.
Abstand Träger B zum Schwerpunkt: 4,0 - 1,2 = 2,8~m.
Gesamtabstand der Träger: 3,4 + 2,8 = 6,2~m.

Moment um A:

F_B \cdot 6,2~\text{m} = 1000~\text{N} \cdot 3,4~\text{m}
F_B = \frac{3400}{6,2} \approx \mathbf{548,4~\text{N}}
F_A = 1000 - 548,4 = \mathbf{451,6~\text{N}}

:building_construction: Aufgabe 19: Achslastverteilung Pkw

Szenario: F_G = 15,5~kN. Radstand 2,7m. Schwerpunkt 1,22m hinter Vorderachse.

Lösung & Rechenweg

Moment um Vorderachse (A):

F_{Hinterachse} \cdot 2,7~\text{m} = 15,5~\text{kN} \cdot 1,22~\text{m}
F_H = \frac{18,91}{2,7} \approx \mathbf{7,01~\text{kN}}
F_V = 15,5 - 7,01 = \mathbf{8,49~\text{kN}}

:hook: Aufgabe 21: Keilriementrieb

Szenario: F=400~N drückt in Scheibe (Winkel 36^\circ).
Frage: Lagerkräfte an den Wangen (Normalkräfte).

Lösung & Rechenweg

Die Kraft drückt in den Keil. Wir brauchen die Kräfte senkrecht zur Flanke.
Der Keilwinkel ist 36^\circ, also ist der Winkel zur Senkrechten \alpha/2 = 18^\circ.

[Image of belt drive force diagram]

Kraft auf die Flanke (Normalkraft F_N):

F_N = \frac{F}{2 \cdot \sin(\alpha/2)}
F_N = \frac{400}{2 \cdot \sin(18^\circ)} = \frac{400}{0,618} \approx \mathbf{647~\text{N}}

Hinweis zur ursprünglichen Lösung im Input: Dort wurde F_{senkrecht} berechnet. In der Praxis ist bei Riemenscheiben oft die Normalkraft (Pressung) gesucht. Wenn nur die Lagerkraft der Welle gemeint ist, bleibt es bei 400 N (actio=reactio). Die Zerlegung in x/y Komponenten ist hier dargestellt.

:balance_scale: Aufgabe 23: Kurbeltrieb (Kolbenkraft)

Szenario: F_{Kolben} = 20~kN. Pleuelwinkel 10^\circ.
Fragen: Seitenkraft F_N und Pleuelkraft F_S.

Lösung & Rechenweg

[Image of piston force diagram]

a) Seitenkraft (Normalkraft zur Zylinderwand):

F_N = F \cdot \tan(\alpha) \quad (\text{Achtung: Input nutzte sin, exakter ist tan im Krafteck})

Wenn wir das Krafteck betrachten (Kolbenkraft, Seitenkraft, Pleuelkraft):
F_N = 20~kN \cdot \tan(10^\circ) \approx \mathbf{3,53~kN}.
(Mit sin gerechnet: 3,47~kN. Prüfungsaufgaben akzeptieren oft beides, technisch ist tan korrekt für die Seitenkraft bei gegebener Kolbenkraft).

b) Pleuelstangenkraft:

F_S = \frac{F}{\cos(\alpha)} = \frac{20.000}{\cos(10^\circ)} \approx \mathbf{20,31~kN}

:shopping_bags: Aufgabe 24: Krafteck (Grafisch)

Szenario: 4 Kräfte (18, 22, 20, 26 kN).
Aufgabe: Resultierende grafisch ermitteln.

Lösung & Hinweis

Hier müsst ihr zeichnen!
Maßstab: 1 cm = 10 kN.

  1. Startpunkt wählen.
  2. Vektor F_1 zeichnen (1,8 cm).
  3. An dessen Spitze Vektor F_2 ansetzen (2,2 cm, Winkel beachten!).
  4. usw.
  5. Die Verbindungslinie vom Startpunkt zur letzten Spitze ist die Resultierende.
    Wichtig: Das Ergebnis (Länge und Winkel der Resultierenden) muss identisch sein, egal in welcher Reihenfolge ihr die Vektoren anordnet.

:brick: Aufgabe 25: Welle mit Riemenzug

Szenario: Welle 1,6m. Riemenkräfte F_1=1400~N, F_2=2400~N. Eigengewichte 360~N.
Frage: Lagerkräfte.

Lösung & Rechenweg

Gesamtlast: F_{ges} = 1400 + 2400 + 360 = 4160~N.
Ohne genaue Positionsangaben der Riemenscheiben ist keine exakte Berechnung möglich.
Annahme für typische Prüfung: Symmetrische oder gegebene Abstände.
Beispielrechnung (Momentensatz) anwenden wie in Aufgabe 13.

:brick: Aufgabe 26: Ausleger (Stabkräfte)

Szenario: Last 5,3 kN.
Frage: Zug-/Druckkräfte in den Stäben.

Lösung & Rechenweg

Klassische Zerlegung am Knotenpunkt.

  1. Zeichne den Knotenpunkt frei.
  2. Last F zeigt nach unten.
  3. Stabkraft A und B müssen das Gleichgewicht halten (Krafteck muss geschlossen sein).
  4. Rechnerisch: Sinus/Kosinussatz je nach Winkel der Stäbe.

:nut_and_bolt: Aufgabe 27: Schrägseil am Mast

Szenario: Seilzug F=100~N, Winkel 50^\circ.
Frage: Mastkraft (Druck).

Lösung & Rechenweg

Die Kraft, die den Mast staucht (vertikal):

F_M = F \cdot \cos(50^\circ)
F_M = 100 \cdot 0,643 \approx \mathbf{64,3~\text{N}}

:fire: Themenbereich 2: Glastechnologie & Thermodynamik

Energie, Gemenge und Schmelze.

:fire: Aufgabe 2: Energiebilanz Schmelzwanne

Szenario: 200 t/Tag. Bedarf theor. 4,2 MJ/kg. Wirkungsgrad \eta = 70~\%.
Fragen: Energiebedarf (theor/real) und Leistung.

Lösung & Rechenweg

1. Theoretischer Bedarf:
Masse = 200.000 kg.

E_{th} = 200.000~\text{kg} \cdot 4,2~\text{MJ/kg} = 840.000~\text{MJ}

Umrechnung in kWh (1~kWh = 3,6~MJ):

E_{th} = \frac{840.000}{3,6} \approx \mathbf{233.333~\text{kWh}}

2. Realer Bedarf (Zuführung):

E_{real} = \frac{E_{th}}{\eta} = \frac{233.333}{0,7} \approx \mathbf{333.333~\text{kWh}}

3. Heizleistung (Dauerleistung):

P = \frac{E_{real}}{24~\text{h}} = \frac{333.333}{24} \approx \mathbf{13.889~\text{kW}} \approx 13,9~\text{MW}

:test_tube: Aufgabe 4: Gemenge-Logistik

Szenario: 150 t Gemenge. 60% Sand. LKW = 25t.

Lösung & Rechenweg

1. Mengen:
Quarzsand: 150 \cdot 0,6 = \mathbf{90~\text{t}}
Soda: 150 \cdot 0,2 = \mathbf{30~\text{t}}
Dolomit/Scherben: je 150 \cdot 0,1 = \mathbf{15~\text{t}}

2. Logistik Sand:

Anzahl = \frac{90}{25} = 3,6 \Rightarrow \mathbf{4~\text{LKWs}}

:fire: Aufgabe 6: Regelungstechnik (PID)

Szenario: Soll 1550 °C, Ist 1530 °C. K_p = 2~\%/K. Max 800 kW.

Lösung & Rechenweg

1. Regeldifferenz:
e = 1550 - 1530 = 20~K.

2. Stellgröße Y:

Y = K_p \cdot e = 2 \cdot 20 = \mathbf{40~\%}

3. Aktuelle Leistung:

P_{akt} = 800~\text{kW} \cdot 0,40 = \mathbf{320~\text{kW}}

:recycling_symbol: Aufgabe 8: Scherben-Einsatz (Energie)

Szenario: Ursprung 4,5 MJ/kg. Scherben 30%. Ersparnis: 0,3 MJ/kg je 10% Scherben.
Frage: Neuer Bedarf & Einsparung bei 250t.

Lösung & Rechenweg

1. Neuer spezifischer Bedarf:
Wir haben 3x 10% Scherben.
Ersparnis spezifisch: 3 \cdot 0,3 = 0,9~MJ/kg.
Neuer Wert: 4,5 - 0,9 = \mathbf{3,6~MJ/kg}.

2. Absolute Einsparung (Tag):
Masse = 250.000 kg.

E_{spar} = 250.000~\text{kg} \cdot 0,9~\text{MJ/kg} = 225.000~\text{MJ}

In kWh: 225.000 / 3,6 = \mathbf{62.500~\text{kWh}}.

:thermometer: Aufgabe 10: Aufheizen (Enthalpie)

Szenario: 25t Glas. \Delta T = 250~K. c = 1~kJ/(kg\cdot K). Zeit 5h.

Lösung & Rechenweg

1. Wärmemenge Q:

Q = m \cdot c \cdot \Delta T
Q = 25.000~\text{kg} \cdot 1~\frac{\text{kJ}}{\text{kg K}} \cdot 250~\text{K} = 6.250.000~\text{kJ} = \mathbf{6.250~\text{MJ}}

2. Leistung P:

P = \frac{Q}{t} = \frac{6.250~\text{MJ}}{5 \cdot 3600~\text{s}} \quad \text{oder einfacher in h rechnen}
P = \frac{6.250.000~\text{kJ}}{5~\text{h}} = 1.250.000~\text{kJ/h} \approx 347.222~\text{kJ/s} (\text{falsch, /3600})

Korrekt: 1.250.000 / 3600 \approx \mathbf{347,2~\text{kW}}

:straight_ruler: Aufgabe 12: Feuchtekorrektur (Gemenge)

Szenario: 100t Trockenmasse benötigt. 2% Feuchte.
Frage: Einwaage feucht?

Lösung & Rechenweg

Achtung, klassischer Fehler: Nicht einfach 2% draufschlagen!
Die Trockenmasse entspricht 98% der feuchten Masse.

m_{feucht} = \frac{m_{trocken}}{0,98}
m_{feucht} = \frac{100~\text{t}}{0,98} \approx \mathbf{102,04~\text{t}}

:fire: Aufgabe 14: Stöchiometrie (Gasfeuerung)

Szenario: 18.000 m³ Gas. Faktor 2,5 m³ O_2/m³ Gas.

Lösung & Rechenweg

1. Tagesbedarf:

V_{O2} = 18.000 \cdot 2,5 = \mathbf{45.000~\text{m}^3}

2. Stundenbedarf:

\dot{V} = \frac{45.000}{24} = \mathbf{1.875~\text{m}^3/\text{h}}

:building_construction: Aufgabe 16: Taktzeit (IS-Maschine/Presse)

Szenario: Prozessschritte 0,7s + 1,2s + 2,1s + 1,0s. 3 Stationen.

Lösung & Rechenweg

1. Zykluszeit:
Summe = 5,0 s pro Glas (an einer Station).

2. Output (Stück/h):
Eine Station schafft: 3600 / 5 = 720 Stück/h.
Anlage (3 Stationen): 720 \cdot 3 = \mathbf{2.160~\text{Stück/h}}.

:snowflake: Aufgabe 18: Kühlofen (Leistung)

Szenario: 5 kg Scheibe. \Delta T = 560~K. Zeit 50 min.

Lösung & Rechenweg

1. Wärmeabfuhr pro Scheibe:

Q = 5 \cdot 1 \cdot 560 = 2.800~\text{kJ} = \mathbf{2,8~\text{MJ}}

2. Kühlleistung:
Zeit in Sekunden: 50 \cdot 60 = 3000~s.

P = \frac{2.800.000~\text{J}}{3000~\text{s}} \approx \mathbf{933~\text{W}}

:chart_increasing: Themenbereich 3: Festigkeit & Qualität

Zugspannung, Prozessfähigkeit und Kosten.

:hook: Aufgabe 7: Zugspannung (Seil)

Szenario: Hohlzylinder (D=1m, d=0,3m, L=2m, \rho=2,7). Seil: 152 Drähte à 2mm.

Lösung & Rechenweg

1. Volumen & Masse:
V = \frac{\pi}{4}(1^2 - 0,3^2) \cdot 2 = 1,429~m^3.
Masse m = 1.429~dm^3 \cdot 2,7~kg/dm^3 \approx 3.859~kg.
Gewichtskraft F_G = m \cdot g \approx 37.860~N.

2. Spannungsquerschnitt:
Ein Draht (d=2mm): A = \pi \cdot 1^2 = 3,14~mm^2.
Gesamt: 152 \cdot 3,14 = 477,5~mm^2.

3. Spannung:

\sigma = \frac{F}{A} = \frac{37.860}{477,5} \approx \mathbf{79,3~\text{N/mm}^2}

:magnifying_glass_tilted_left: Aufgabe 20: Qualitätskosten (Prüfanlage)

Szenario: 12.000 Stk/Tag. 240 Fehler. Invest 15.000 €. Neue Quote 0,5%. Ausschusskosten 0,10€.

Lösung & Rechenweg

1. Ist-Zustand:
Fehlerquote: 240/12000 = 2\%.
Jahresfehler: 240 \cdot 300 = 72.000 Stück.
Fehlerkosten: 7.200~€.

2. Soll-Zustand:
Fehlerquote: 0,5%.
Jahresfehler: 12000 \cdot 0,005 \cdot 300 = 18.000 Stück.
Fehlerkosten: 1.800~€.

3. Amortisation:
Ersparnis pro Jahr: 7.200 - 1.800 = 5.400~€.
In 2 Jahren: 10.800~€.
Vergleich Invest: 10.800 < 15.000.
Antwort: Nein, amortisiert sich noch nicht in 2 Jahren (erst im 3. Jahr).

:straight_ruler: Aufgabe 22: Prozessfähigkeit (Cp)

Szenario: Toleranz \pm 0,2 \rightarrow T=0,4. Standardabweichung \sigma=0,06.

Lösung & Rechenweg

Formel für C_p (Prozesspotenzial):

C_p = \frac{T}{6 \cdot \sigma}
C_p = \frac{0,4}{6 \cdot 0,06} = \frac{0,4}{0,36} \approx \mathbf{1,11}

Bewertung: 1,11 < 1,33. Der Prozess ist zwar fähig (da >1), aber nicht sicher genug für statistische Standards (meist C_p > 1,33 gefordert).