Rechenaufgaben - Industriemeister - HQ

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:pushpin: Aufgabe 1d – Berechnung des Materialaustrags bei der Glasrohrherstellung

:receipt: Aufgabenstellung:

In einem Betrieb werden Glasrohre mit einem Außendurchmesser von 32 mm und einer Wandstärke von 2,4 mm produziert. Die Länge der Rohre beträgt 3 m und die Dichte des eingesetzten Glases beträgt 1,38 kg/dm3. Bei jedem Rohr entsteht ein Abfallanteil durch die Nachbearbeitung von 0,1 % der Rohrmasse. Die Abzugsgeschwindigkeit der Produktionsanlage beträgt 10 m/min.

:backhand_index_pointing_right: Berechnen Sie den Materialaustrag in kg/h.

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung
d = 32 \text{ mm} - 2 \times 2,4 \text{ mm} = 27,2 \text{ mm}
A = (\pi / 4) \times (32^2 - 27,2^2) \approx 669.536 \text{ mm}^2 \approx 0,67 \text{ dm}^3
m = 0,67 \text{ dm}^3 \times 1,38 \text{ kg/dm}^3 \approx 0,925 \text{ kg}
m_{\text{eff}} = 0,925 \text{ kg} \times 0,999 \approx 0,924 \text{ kg}
\text{Rohre/h} = 600 \text{ m/h} \div 3 \text{ m} = 200
\text{Materialaustrag} = 200 \times 0,924 \text{ kg} = 185 \text{ kg/h}

:nut_and_bolt: Aufgabe 1 – Berechnung der Schraubenzahl für ein Druckwerkzeug

:receipt: Aufgabenstellung:

Ein Düsenwerkzeug wird mit Schrauben des Typs M12 × 60 – 12.9 befestigt. Auf die geschlossene Kreisfläche (Durchmesser 121 mm) wirkt ein konstanter Überdruck von 125 bar. Die Schrauben sollen mit einem Sicherheitsfaktor von 4 dimensioniert werden.

:backhand_index_pointing_right: Berechnen Sie die erforderliche Anzahl der Schrauben.

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung
A = (\pi / 4) \times 121^2 = 11.490 \text{ mm}^2
F = 12,5 \text{ N/mm}^2 \times 11.490 \text{ mm}^2 = 143.625 \text{ N}
F_{\text{sicher}} = 4 \times 143.625 = 574.500 \text{ N}
F_{\text{zul}} \text{ (M12)} = 84,3 \text{ mm}^2 \times 270 \text{ N/mm}^2 = 22.761 \text{ N}
n = 574.500 \div 22.761 \approx 6,3 \Rightarrow 7 \text{ Schrauben}

:hook: Aufgabe 2a – Maximale Masse eines Glasrohrs beim Greiferhandling

:receipt: Aufgabenstellung:

Ein Schwenkarmroboter hebt Glasrohre mit einem Scherengreifer, der eine Greifkraft von 100 N aufbringt. Der Reibungskoeffizient zwischen den Greiferflächen und dem Rohr beträgt 0,3.

:backhand_index_pointing_right: Berechnen Sie die maximal mögliche Masse des Glasrohrs in kg.

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung
F_R = \mu \times F_N = 0,3 \times 100 \text{ N} = 30 \text{ N}
m = F / g = 30 / 9,81 \approx 3,06 \text{ kg}

:straight_ruler: Aufgabe 2b – Berechnung der Flächenpressung

:receipt: Aufgabenstellung:

Die Greiferbacken haben eine Länge von 120 mm und einen Durchmesserbereich von 30 mm, wobei 60 % der Fläche wirksam auf das Rohr drücken. Die Greifkraft beträgt 100 N.

:backhand_index_pointing_right: Berechnen Sie die Flächenpressung in N/mm2.

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung
A = 120 \text{ mm} \times 30 \text{ mm} \times 0,6 = 2.160 \text{ mm}^2
p = 100 \text{ N} \div 2.160 \text{ mm}^2 = 0,046 \text{ N/mm}^2

:dashing_away: Aufgabe 3 – Gasvolumen beim PUR-Schäumen

:receipt: Aufgabenstellung:

Beim Schäumen eines PUR-Artikels werden 300 g Treibmittel eingesetzt. Die Gasausbeute beträgt 0,2 l/g, der Gasverlust liegt bei 15 %.

:backhand_index_pointing_right: Berechnen Sie das nutzbare Gasvolumen in Litern.

:white_check_mark: Lösung :

Zusammenfassung
V = 300 \text{ g} \times 0,2 \text{ l/g} \times 0,85 = 51 \text{ l}

:hammer_and_wrench: Aufgabe 4a – Volumenstrom bei 50/60 Hz Betrieb

:receipt: Aufgabenstellung:

Eine Pumpe fördert 50 cm3/U. Der Motor hat bei 50 Hz → 1.475 U/min, bei 60 Hz → 1.770 U/min.

:backhand_index_pointing_right: Berechnen Sie den Volumenstrom in l/min bei beiden Frequenzen.

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung
Q_{50\text{Hz}} = 50 \times 1.475 = 73.750 \text{ cm}^3/\text{min} = 73,75 \text{ l/min}
Q_{60\text{Hz}} = 50 \times 1.770 = 88.500 \text{ cm}^3/\text{min} = 88,5 \text{ l/min}

:repeat_button: Aufgabe 4b – Zykluszeit eines Hydraulikzylinders

:receipt: Aufgabenstellung:

Zylinderdurchmesser: 100 mm, Kolbenstange: 70 mm, Hub: 500 mm. Berechne Zykluszeit (Aus- & Einfahren) bei Q = 73,75 l/min bzw. 88,5 l/min.

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung
V_K = \pi/4 \times 100^2 \times 500 = 3.927.000 \text{ mm}^3 = 3.927 \text{ cm}^3
V_R = \pi/4 \times (100^2 - 70^2) \times 500 = 2.002 \text{ cm}^3
V_{\text{ges}} = 5.929 \text{ cm}^3
t_{50\text{Hz}} = (5.929 / 73.750) \times 60 \approx 4,8 \text{ s}
t_{60\text{Hz}} = (5.929 / 88.500) \times 60 \approx 4,0 \text{ s}

:high_voltage: Aufgabe 4c – Maximaler Druck im Hydrauliksystem

:receipt: Aufgabenstellung:

Motorleistung: 50 Hz → 18,5 kW, 60 Hz → 22,0 kW. Volumenstrom siehe oben.

:backhand_index_pointing_right: Berechnen Sie den Systemdruck in bar.

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung
p_{50\text{Hz}} = (18,5 \times 600) / 73,75 \approx 150,5 \text{ bar}
p_{60\text{Hz}} = (22,0 \times 600) / 88,5 \approx 149,2 \text{ bar}

:magnet: Aufgabe 4d – Berechnung der Kolbenkraft

:receipt: Aufgabenstellung:

Hydraulikdruck: 150 bar, Kolbendurchmesser: 100 mm

:backhand_index_pointing_right: Berechnen Sie die maximale Kolbenkraft.

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung
A = \pi/4 \times 100^2 = 7.854 \text{ mm}^2
F = 150 \times 7.854 = 1.178.100 \text{ N} = 117,8 \text{ kN}
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:page_facing_up: Industriemeister Glas – Technischer Teil

⬟ Aufgabe: Herstellkosten eines Glashebels berechnen

Die GLASWERK GmbH fertigt im Kundenauftrag Glashebel für ein medizinisches Gerät aus Borosilikatglas. Die Hebel werden in einem vertikalen Press-Blas-Verfahren hergestellt und anschließend in einem Temperofen thermisch behandelt. Danach erfolgt eine mechanische Nachbearbeitung (Planschleifen, Kantenbrechen, Sichtprüfung).

Ein Los besteht aus 12 Glashebeln. Die Herstellung verursacht einen Materialverlust von 7 %, da beim Ausformen und Abschneiden Glasscherben und Abfall anfallen.
Für die Kalkulation sollen die Herstellkosten pro Hebel ermittelt werden.

:bar_chart: Gegebene Werte:

Position Wert
Rohglasmasse pro Hebel 1,1 kg
Ausschussrate / Verluste 7 %
Glaspreis (Borosilikatglas) 0,85 €/kg
Lohnkosten (Rüsten, Bedienung, Nachbearb.) 120,00 € pro Los
Maschinenzeit Formanlage 1,5 h
Maschinenzeit Temperofen 2,0 h
Maschinenstundensatz Formanlage 60,00 €/h
Maschinenstundensatz Temperofen 50,00 €/h
Materialgemeinkostenzuschlag (MGK) 15 % auf Materialkosten
Restfertigungsgemeinkosten (RFGK) 100 % auf Lohnkosten

:toolbox: Lösung Schritt für Schritt:

Zusammenfassung

:white_check_mark: 1. Tatsächlicher Materialverbrauch

  • Rohmasse ohne Verlust:
    12 Hebel × 1,1 kg = 13,2 kg

  • Verlust (7 %):
    13,2 kg × 0,07 = 0,924 kg

  • Gesamtverbrauch:
    13,2 kg + 0,924 kg = 14,124 kg

:white_check_mark: 2. Materialkosten

14,124 kg × 0,85 €/kg = 12,01 €

:white_check_mark: 3. Materialgemeinkosten (MGK)

15 % von 12,01 € = 1,80 €

:white_check_mark: 4. Maschinenkosten

  • Formanlage: 1,5 h × 60,00 €/h = 90,00 €
  • Temperofen: 2,0 h × 50,00 €/h = 100,00 €

:white_check_mark: 5. Lohnkosten

Gegeben: 120,00 € pro Los

:white_check_mark: 6. Restfertigungsgemeinkosten (RFGK)

100 % von 120,00 € = 120,00 €

:white_check_mark: 7. Gesamtkosten pro Los

Kostenart Betrag
Material 12,01 €
MGK 1,80 €
Lohn 120,00 €
RFGK 120,00 €
Maschinen Formanlage 90,00 €
Maschinen Temperofen 100,00 €
Summe pro Los (12 Stk.) 443,81 €

:white_check_mark: 8. Herstellkosten pro Hebel

443,81 € ÷ 12 = 36,98 €

:date: Antwort: Die Herstellkosten pro Glashebel betragen ca. 36,98 €.

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:page_facing_up: Industriemeister Glas – Technischer Teil

⬟ Aufgabe: Maschinenkosten bei der Bearbeitung von Glaskörpern

Die GLASFORM GmbH produziert in einem Fertigungslos 75 Glaskörper für ein Laborgerät. Jeder Glaskörper wird zunächst automatisch zugeschnitten (Maschine A) und danach mittels Kantenbearbeitung geschliffen (Maschine B).

:chart_increasing: Gegebene Daten:

Arbeitsgang Rüstzeit Bearbeitungszeit je Stück Maschinenstundensatz
Maschine A – Zuschnitt 0,3 h 3,5 min 75 €/h
Maschine B – Kantenbearb. 0,5 h 5,0 min 65 €/h

:shrimp: Aufgabenstellung:

  1. Ermitteln Sie die Maschinenkosten pro Fertigungslos.
  2. Berechnen Sie die Maschinenkosten pro Glaskörper.

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung

:counterclockwise_arrows_button: Umrechnung der Bearbeitungszeiten

  • Maschine A: 75 Stk. × 3,5 min = 262,5 min = 4,375 h
  • Maschine B: 75 Stk. × 5,0 min = 375 min = 6,25 h

:hammer_and_pick: Maschinenzeiten inkl. Rüsten

  • Maschine A: 0,3 h + 4,375 h = 4,675 h
  • Maschine B: 0,5 h + 6,25 h = 6,75 h

:money_bag: Maschinenkosten pro Maschine

  • Maschine A: 4,675 h × 75 €/h = 350,63 €
  • Maschine B: 6,75 h × 65 €/h = 438,75 €

:envelope: Gesamtkosten pro Fertigungslos

  • Gesamt: 350,63 € + 438,75 € = 789,38 €

=️ Maschinenkosten pro Glaskörper

  • 789,38 € ÷ 75 Stk. = 10,52 € pro Glaskörper

:date: Antwort:

  • Maschinenkosten pro Los: 789,38 €
  • Maschinenkosten pro Glaskörper: 10,52 €

:sparkles: Hinweis für die Prüfung: Achte auf Einheitenumwandlungen (min → h), Rüstzeit separat einrechnen, und die Maschinenkosten immer auf das komplette Los beziehen.

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:page_facing_up: Industriemeister Glas – Technischer Teil

⬟ Aufgabe: Kostenvergleich bei der Herstellung von Glasplatten

Die GLASKON GmbH produziert Spezialglasplatten. Für ein Fertigungslos von 80 Platten stehen zwei Fertigungsvarianten zur Verfügung:

:chart_increasing: Gegebene Daten:

Variante Rüstzeit Bearbeitungszeit pro Stück Maschinenstundensatz
Konventionell 1,2 h 6,0 min 70 €/h
CNC-gesteuert 0,5 h 4,5 min 95 €/h

:shrimp: Aufgabenstellung:

  1. Ermitteln Sie die Maschinenkosten pro Los für beide Varianten.
  2. Berechnen Sie die Stückkosten pro Glasplatte.
  3. Welche Fertigungsart ist wirtschaftlicher?

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung

Variante 1: Konventionell

  • Bearbeitungszeit: 80 Stk. × 6,0 min = 480 min = 8,0 h
  • Gesamtzeit inkl. Rüsten: 1,2 h + 8,0 h = 9,2 h
  • Maschinenkosten: 9,2 h × 70 €/h = 644,00 €
  • Stückkosten: 644,00 € ÷ 80 = 8,05 €/Stk.

Variante 2: CNC-gesteuert

  • Bearbeitungszeit: 80 Stk. × 4,5 min = 360 min = 6,0 h
  • Gesamtzeit inkl. Rüsten: 0,5 h + 6,0 h = 6,5 h
  • Maschinenkosten: 6,5 h × 95 €/h = 617,50 €
  • Stückkosten: 617,50 € ÷ 80 = 7,72 €/Stk.

:bar_chart: Ergebnis:

  • Konventionell: 8,05 €/Stk.
  • CNC: 7,72 €/Stk.

:white_check_mark: Die CNC-Fertigung ist wirtschaftlicher.

:sparkles: Hinweis für die Prüfung: Berechne stets die Zeit in Stunden, addiere Rüstzeiten dazu und rechne alle Kosten auf das Los bzw. pro Stück herunter. Vergleiche die Werte systematisch.

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:page_facing_up: Industriemeister Glas – Technischer Teil

⬟ Aufgabe: Ausschuss und Nacharbeit bei der Glaserzeugung

Die THERMOGLAS GmbH produziert Glaslinsen. Beim ersten Qualitätsdurchlauf ergibt sich ein Ausschuss von 12 %, wovon 60 % erfolgreich nachgearbeitet werden können. Ziel ist es, 1.000 verkaufsfähige Linsen zu produzieren.

:shrimp: Aufgabenstellung:

  1. Wie viele Linsen müssen insgesamt gefertigt werden?
  2. Wie viele Linsen müssen nachgearbeitet werden?
  3. Wie viele Linsen sind endgültig Ausschuss?

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung

Schritt 1: Zielmenge = 1.000 verkaufsfähige Linsen

  • 12 % der gefertigten Linsen sind Ausschuss.
  • Davon können 60 % durch Nacharbeit gerettet werden.
  • Effektive Ausbringung: 88 % direkt gut + (12 % × 60 %) = 7,2 %
    ➞ Gesamtwirkungsgrad = 95,2 %

Benötigte Fertigungsmenge:

  • 1.000 ÷ 0,952 = 1.050,42 ≈ 1.051 Linsen (aufgerundet)

Schritt 2: Nacharbeit

  • Ausschussmenge: 12 % von 1.051 = 126,12 ≈ 126 Linsen
  • Davon nachgearbeitet: 60 % von 126 = 75,6 ≈ 76 Linsen

Schritt 3: Endgültiger Ausschuss

  • 126 − 76 = 50 Linsen

:bar_chart: Antwort:

  • Es müssen 1.051 Linsen gefertigt werden.
  • Davon werden 76 Linsen nachgearbeitet.
  • 50 Linsen bleiben endgültig Ausschuss.

:sparkles: Hinweis für die Prüfung: Solche Aufgaben verlangen eine kombinierte Betrachtung von Ausschuss und Nacharbeit. Rechne mit Prozentwerten systematisch, und runde bei Bedarf am Ende sinnvoll auf.

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:page_facing_up: Industriemeister Glas – Technischer Teil

⬟ Aufgabe: Durchlaufzeit in der Glasveredelung

In der Veredelung von Trinkgläsern erfolgen zwei aufeinanderfolgende Arbeitsgänge:

  1. Bedrucken (Drucklinie)
  2. Ofentrocknung und Tempern

Dabei fallen neben der eigentlichen Bearbeitungszeit auch Pufferzeiten, Transport- und Liegezeiten an.

:chart_increasing: Gegebene Daten:

Arbeitsschritt Dauer Pufferzeit Transportzeit Liegezeit
Bedrucken 2,0 h 0,5 h 0,2 h 0,3 h
Ofentrocknung & Tempern 3,5 h 0,8 h 0,3 h 0,2 h

:shrimp: Aufgabenstellung:

  1. Wie hoch ist die Durchlaufzeit?
  2. Wie hoch ist die Hauptnutzzeit?

:white_check_mark: Lösung:

Zusammenfassung

:hourglass_done: Durchlaufzeit:

  • Bedrucken gesamt: 2,0 + 0,5 + 0,2 + 0,3 = 3,0 h
  • Trocknen & Tempern gesamt: 3,5 + 0,8 + 0,3 + 0,2 = 4,8 h
  • Gesamte Durchlaufzeit: 3,0 h + 4,8 h = 7,8 h

:balance_scale: Hauptnutzzeit (nur Bearbeitungszeit):

  • Bedrucken: 2,0 h
  • Tempern: 3,5 h
  • Summe Hauptnutzzeit: 5,5 h

:bar_chart: Antwort:

  • Durchlaufzeit = 7,8 h
  • Hauptnutzzeit = 5,5 h

:sparkles: Hinweis für die Prüfung: Achte genau auf die Begriffe: Die Durchlaufzeit umfasst alle Zeiten (auch Liege-, Transport-, Pufferzeiten), die Hauptnutzzeit nur die aktive Bearbeitungszeit an der Anlage.

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:test_tube: Aufgabe: Analyse der Glasmasseförderung in einer beheizten Rohrleitung

Thema: Strömungsgeschwindigkeit & Massenstromanalyse in der Glasindustrie
Niveau: Industriemeister Glas – Technisches Handlungsfeld
Punkte: 10

:page_facing_up: Ausgangssituation

In einem Glaswerk wird eine zähflüssige Glasmasse durch eine beheizte Leitung mit einem Innendurchmesser von 60 mm gefördert. Die Masse muss möglichst gleichmäßig transportiert werden, da Schwankungen in der Fördergeschwindigkeit zu Qualitätseinbußen im Endprodukt führen können.

:triangular_ruler: Gegeben:

  • Volumenstrom: V̇ = 0,012 m³/s
  • Rohrdurchmesser: d = 60 mm = 0,06 m
  • Temperatur der Glasmasse: T = 1150 °C
  • Dichte der Glasmasse: ρ = 2500 kg/m³
  • (Rohrlänge L = 10 m – nur zur Info)

:abacus: Aufgabenstellung

:a_button_blood_type: a) Berechne die mittlere Strömungsgeschwindigkeit der Glasmasse. (2 Punkte)

:b_button_blood_type: b) Berechne den Massenstrom ṁ der Glasmasse. (2 Punkte)

:bar_chart: c) Beurteile, ob die gewählte Rohrgröße bei diesem Volumenstrom sinnvoll ist. (3 Punkte)

:light_bulb: Hinweis: Für zähflüssige Glasmasse gelten Strömungsgeschwindigkeiten von 3–6 m/s als ideal.

:hammer_and_wrench: d) Schlage eine technische Maßnahme vor, falls sich die Strömungsgeschwindigkeit als ungünstig herausstellt. (3 Punkte)

Beziehe dich auf Fördertechnik, Temperatursteuerung oder Leitungsauslegung.

:white_check_mark: Musterlösung zur Aufgabe: Analyse der Glasmasseförderung

Zusammenfassung

:a_button_blood_type: a) Strömungsgeschwindigkeit berechnen

A = π · d² / 4 = π · 0,06² / 4 ≈ 0,002827 m²
v = V̇ / A = 0,012 / 0,002827 ≈ 4,25 m/s

:white_check_mark: Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit beträgt ca. 4,25 m/s.

:b_button_blood_type: b) Massenstrom berechnen

ṁ = ρ · V̇ = 2500 · 0,012 = 30 kg/s

:white_check_mark: Der Massenstrom beträgt 30 kg/s.

:bar_chart: c) Beurteilung der Rohrgröße

Die berechnete Strömungsgeschwindigkeit liegt bei 4,25 m/s.
:check_mark: Sie liegt im empfohlenen Bereich von 3–6 m/s → also optimal für gleichmäßigen Glasfluss.

:hammer_and_wrench: d) Technische Maßnahme bei Abweichung

Falls v zu hoch:
:right_arrow: Rohrdurchmesser erhöhen → größere Fläche → Geschwindigkeit sinkt

Falls v zu niedrig:
:right_arrow: Temperatur der Glasmasse erhöhen → Viskosität sinkt → Masse fließt leichter

:white_check_mark: Beide Maßnahmen verbessern die Förderbedingungen und Produktqualität.